本次教资面试试题来源于学员回忆，与真实试题存在偏差，仅供参考。

高中数学《分数指数幂》

一、考题回顾

二、考题解析

【教学过程】

(一)导入新课

复习导入，引导学生回顾整数指数幂的意义和运算性质。

提问：之前对指数的取值范围规定为整数，现在能否将其范围拓展?引出课题。

高中数学《反证法》

一、考题回顾

二、考题解析

【教学过程】

(一)导入新课

前面已经学习了综合法和分析法，请学生尝试证明“三角形中至少有一个内角不小于
”。

预设学生很难用这两种方法进行证明，但部分学生能想到可以从反面入手，假设三角形所有内角都小于
。教师肯定学生想法并点明这节课学习一种新的证明方法。

引出课题。

(二)讲解新知

给出定义：一般地，假设原命题不成立，即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。这样的证明方法叫做反证法。

结合例题“求证
是无理数”具体讲解。

教师带领学生一起分析，直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法。依据定义，先假设原命题不成立，即假设
不是无理数，再推导出矛盾即可。

请学生同桌两人为一小组，尝试进行推导。教师提示，一个实数，如果不是无理数，那就是有理数，有理数可以怎样表示。

请学生上黑板板演，教师结合板书讲解。

教师说明，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。

请学生根据刚才的证明步骤总结反证法的一般步骤。

教师规范学生的回答，反证法步骤如下：

(1)假设命题的结论不成立;

(2)由反设出发，推出矛盾的结果;

(3)断定矛盾的原因在于开始的假设不真，于是原结论成立。

【答辩题目解析】

1.反证法一般适用于哪些情形?

【参考答案】

反证法是间接证明的一种重要方法，当我们无法对命题进行直接证明时可考虑运用反证法进行证明。应用反证法主要有以下几种情形：

(1)当已知条件与结论之间的关系不够明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰;

(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行，只要研究一种或很少的几种情形;

(3)结论是否定形式的命题;

(4)关于“存在性”及“唯一的”命题及其他直接证明有困难的命题。

反证法的思维方式是“正难则反”。

2.你是如何引导学生掌握反证法的?

【参考答案】

学生以前对反证法稍有接触，因而我会在上课时先直接给出反证法的定义。虽然定义里已经包含了反证法的证明步骤，但仅仅是通过文字叙述，学生很难有清晰且直观的认识，因此我会出示一道反证法的例题，结合具体例子的讲解，使学生明白到底什么是反证法，反证法又该如何使用。在讲解完例题之后，我也会强调反证法的关键是什么，并请学生自己总结证明步骤。在此基础上，我会请学生用反证法来证明导入中的问题，使学生对于所学知识能够灵活应用。通过这样的课堂设置，相信学生能够完全掌握反证法。